نظرة عامة حول المثلث
يُعرف المثلث على أنّه أيّ شكل هندسي مغلق مكوّن من ثلاثة أضلاع، وتُصنّف المثلث إلى العديد من الأنواع، فهي حسب قياس زواياها ثلاثة أنواع؛ مثلث حاد الزوايا وهو المثلث الذي يقل فيه قياس الزوايا الثلاثة عن 90°، ومثلث منفرج الزاوية وهو المثلث الذي يكون فيه قياس واحدة من الزوايا الثلاثة أكبر من 90°، ومثلث قائم الزاوية وهو المثلث الذي الذي يكون فيه قياس زاوية واحدة من زواياه الثلاثة 90°.
يُمكن تصنيف المثلثات إلى عدّة أنواع حسب أطوال أضلاعها، فهناك المثلث متساوي الأضلاع وهو المثلث الذي يتكوّن من ثلاثة أضلاع بنفس قياس، والمثلث متساوي الساقين وهو المثلث الذي يكون فيه قياس ضلعين من أصل ثلاثة متساوياً، والمثلث مختلف الأضلاع وهو المثلث الذي يتكوّن من ثلاثة أضلاع مختلفة في قياساتها.
قانون حساب مساحة المثلث
يُطلق مصطلح المساحة على الحيّز المحصور ضمن حدود جسم أو شكل مُسطّح أو ثنائي الأبعاد، ووحدة قياس المساحة هي وحدة قياس طول الضلع مربعةً، وتُعدّ وحدة القياس م
- مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
يُستخدم القانون السابق لحساب مساحة جميع أنواع المثلثات، فلو أنّ هناك مثلث طول قاعدته 20م وارتفاعه 12م، فإنّه وبحسب القانون المذكور سابقاً، مساحة المثلث هي= 0.5*20*12=120م
يُمكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام معطيات محدّدة، ففي حال عُرف قياس طول ضلعين متجاورين في المثلث بالإضافة إلى قياس الزاوية المحصورة بينهما، فإنّه من الممكن حساب مساحة المثلث باستخدام القانون الآتي:
- مساحة المثلث= 0.5*الضلع المجاور الأول*الضلع المجاور الثاني* جا(س)
- جا(س)= جيب الزاوية س المحصورة بين الضلع الأول والضلع الثاني.
- جا(س)= المقابل/الوتر، ويُستخدم هذا القانون في المثلث قائم الزاوية، أيّ أنّ:
- جا(س)= الارتفاع/الوتر
- الارتفاع= جا(س)*الوتر
- وبما أنّ المساحة بحسب القانون الأصلي= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- المساحة= 0.5*القاعدة*(جا(س)*الوتر)
- وبما أنّ القاعدة والوتر هما الضلعان المجاوران للزاوية س، فيُمكن كتابة القانون على الشكل الآتي:
كما أنّه من الممكن حساب مساحة المثلث إذا توافر قياس أحد أضلاعه بالإضافة إلى قياس كلا الزاويتين المجاورتين لهذا الضلع، ولم يتوافر ارتفاع المثلث، من خلال القانون الآتي:
- مساحة المثلث= الضلع
>2 *جا(س)*جا(ص)/(2*(جا(س+ص))
- (س) و (ص): الزاويتان المعلومتان المجاورتان للضلع.
وفي حال توافر قياس أضلاع المثلث الثلاث، فإنّه من الممكن إيجاد مساحة المثلث باستخدام صيغة هيرون والتي تنصّ على أنّ:
- س= (أ+ب+ج)/2
- س= نصف قيمة محيط المثلث؛ والذي يُساوي مجموع أطوال أضلاع المثلث.
- أ،ب،ج: هي أطوال أضلاع المثلث الثلاث.
- مساحة المثلث= (س*(س-أ)*(س-ب)*(س-ج))^0.5
يُستخدم القانون العام لمساحة المثلث لحساب مساحة المثلث قائم الزاوية أيضاً، إذ إنّ الضلع القائم في المثلث هو الارتفاع، والضلع الذي يصنع معه القائم زاوية 90°هو القاعدة، وبالتالي فإنّ:
- مساحة المثلث= 0.5*الارتفاع*القاعدة
أمّا في المثلث متساوي الأضلاع، فإنّ الصيغة العامة لقانون مساحة المثلث هي كالآتي:
- مساحة المثلث متساوي الأضلاع= أ²*((3^½) /4)
- أ= طول ضلع المثلث متساوي الأضلاع.
أمثلة متنوعة على حساب مساحة المثلث
توضّح الأمثلة الآتية كيفية استخدام المعطيات المتاحة لإيجاد مساحة المثلث المطلوبة:
- المثال الأول:
[2]
الحل:
باستخدام قانون مساحة المثلث فإنّ:
- المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- المساحة= 0.5*13*5=32.5إنش
>2 .
- المثال الثاني:
[2]
الحل:
باستخدام قانون مساحة المثلث فإنّ:
- المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- المساحة= 0.5*7*8=28سم
>2 .
- المثال الثالث:
[8]
الحل:
لإيجاد ارتفاع المثلث بوجود قيم كلّ من المساحة والقاعدة فإنّ:
- المساحة= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- الارتفاع= المساحة/(0.5*القاعدة)
- الارتفاع= 18/(0.5*3)
- الارتفاع= 12 قدم.
- المثال الرابع:
[9]
الحل:
باستخدام قانون مساحة المثلث القائم على قيم جيب الزاوية فإنّ:
- مساحة المثلث= 0.5*الضلع الأول*الضلع الثاني*جا(س)
- مساحة المثلث= 0.5*12*25*جا(51)
- مساحة المثلث= 0.5*12*25*0.78
- مساحة المثلث= 117وحدة مربعة.
- المثال الخامس:
[9]
الحل:
باستخدام صيغة هيرون فإنّ:
- س= (أ+ب+ج)/2
- س= (60+44+31)/2
- س= 67.5
- مساحة المثلث= (س*(س-أ)*(س-ب)*(س-ج))^0.5
- مساحة المثلث= (67.5*(67.5-60)*(67.5-44)*(67.5-31)^0.5
- مساحة المثلث= (67.5*7.5*23.5*36.5)^0.5
- مساحة المثلث= 434235.9^0.5
- مساحة المثلث= 658.97 وحدة مربعة.
- المثال السادس:
[9]
الحل:
بما أنّ أطوال أضلاع المثلث متساوية، فهذا يعني أنّ:
- طول الضلع= 78/3=26
- مساحة المثلث متساوي الأضلاع= ((3^0.5)/4)*26^
>2 - مساحة المثلث= 292.7 وحدة مربعة.
- المثال السابع:
[10]
الحل:
باستخدام قانون مساحة المثلث الخاص بالمثلث متساوي الأضلاع فإنّ:
- مساحة المثلث متساوي الأضلاع= أ²*((3^½) /4)
- مساحة المثلث= (3^½) /4)*3^2
- مساحة المثلث= (0.433)*9
- مساحة المثلث= 3.897 إنش².
- المثال الثامن:
[11]
الحل:
بما أنّ الخطين ل1، ل2 متوازيان ويحصران أقصر مسافة عمودية بين نقاط المثلث، فإن المسافة بينهما هي ارتفاع المثلث، لذا فإنّ:
- مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- الارتفاع= مساحة المثلث/(0.5*القاعدة)
- الارتفاع= 6/(0.5*4)
- الارتفاع= 3 وحدات.
- المثال التاسع:
[12]
الحل:
لإيجاد قيمة القاعدة اعتماداً على قيم كلّ من المساحة والارتفاع فإنّ:
- مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- القاعدة= مساحة المثلث/(0.5*الارتفاع)
- القاعدة= 12/(0.5*3)
- القاعدة= 8سم.
- المثال العاشر:
[12]
الحل:
لإيجاد قيمة القاعدة اعتماداً على قيم كلّ من المساحة والارتفاع فإنّ:
- مساحة المثلث= 0.5*القاعدة*الارتفاع
- الارتفاع= مساحة المثلث/(0.5*القاعدة)
- الارتفاع= 8/(0.5*4)
- الارتفاع= 4سم.
- المثال الثاني عشر:
[13]
الحل:
لإيجاد ارتفاع المثلث يتمّ استخدام نظرية فيثاغورس:
- الوتر²= القاعدة²+الارتفاع²
- الارتفاع²= ²13-²12
- الارتفاع²= 169-144=25
- الارتفاع= 5 وحدات
- مساحة المثلث=0.5*الضلع المجاور الأول*الضلع المجاور الثاني*جا(س)
- 39= 0.5*12*13*جا(س)
- جا(س)= 78/39
- جا(س)= 0.5، وباستخدام معكوس جيب الزاوية فإنّ:
- س= جا
>-1 (0.5) - س= 30°
- مجموع زوايا المثلث= 180°، وبما أنّ المثلث قائم الزاوية
- 180=90+30+ص
- ص=180-(30+90)
- ص=60°
فيديو عن كيفية حساب مساحة المثلث
للتعرّف على كيفية حساب مساحة المثلث يُمكن مشاهدة الفيديو الآتي:
المراجع
- 1 - The Definition of a Triangle , www.geom.uiuc.edu , 8-12-2019. Edited. .
- 2 - area of a triangle , www.byjus.com , 8-12-2019. Edited. .
- 3 - Triangles , www.mathsisfun.co , 8-12-2019. Edited. .
- 4 - Triangles: Area , www.varsitytutors.com , 8-12-2019. Edited. .
- 5 - Three Ways to Find the Area of a Triangle , www.web.nmsu.edu , 9-12-2019. Edited. .
- 6 - Hania Pamuła, " Triangle Area Calculator " , www.omnicalculator.com , 9-12-2019. Edited. .
- 7 - Mark D. (26-6-2018), " How do you find the area of a triangle with 3 sides given? " , www.socratic.org , 9-12-2019. Edited. .
- 8 - Area of a Triangle , www.mathgoodies.com , 9-12-2019. Edited. .
- 9 - Areas of Triangles , www.cliffsnotes.com , 10-12-2019. Edited. .
- 10 - How to Find the Area of an Equilateral Triangle , study.com , 2019-12-26. Edited. .
- 11 - Trevor Arashiro, Pi Han Goh, Danish Ahmed, " Area of a Triangle " , www.brilliant.org , 10-12-2019. Edited. .
- 12 - Carol Vorderman (2010), <i> " Help Your Kids with Maths: A Unique Step-by-Step Visual Guide " , ,Britain: Dorling Kindersley Limited, Page 124 , Carol Vorderman (2010), .
- 13 - Finding the Area of a Triangle Using Sine , www.varsitytutors.com , 11-12-2019. Edited. .