العمليات المنطقية في الرياضيات (الأكبر والأصغر والمساواة)

• تقع الأعداد الموجبة على خط الأعداد على يمين الصفر، وتزداد قيمتها كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين، أي العدد الذي يقع على اليمين هو العدد الأكبر.
• يقع الصفر على يسار جميع الأعداد الموجبة إذًا جميع الأعداد الموجبة أكبر من الصفر.
• العدد الذي يمتلك عدد منازل أكثر هو العدد الأكبر والعدد الذي يمتلك عدد منازل أقل هو العدد الأصغر إذا كان العددين موجبين.
• مثال: 652>25.
• إذا تساوى عدد المنازل بين عددين، نُقارن بين قيمة كل منزلة من أقصى اليسار نحو اليمين؛ أي من منزلة المئات، ثم العشرات، ثم الآحاد حتى نصل إلى قيم غير متساوية في منزلة ما.
• العدد الذي يحتوي في منزلته على الرقم الأكبر هو العدد الأكبر.

الأصغر

يُستخدم الرمز(<)للدلالة على العملية المنطقية أصغر من، وتدل على أنّ قيمة العدد الأول أصغر من قيمة العدد الثاني،^[٢]وفيما يأتي قواعد لمعرفة إذا كان عدد ما أصغر من العدد الآخر للأعداد المكونة من منزلة وأكثر:^[٣]

• تقع الأعداد الموجبة على خط الأعداد على يمين الصفر، وتزداد قيمتها كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين، أي العدد الذي يقع على اليسار أصغر من العدد الذي يقع على يمينه.
• يقع الصفر على يسار جميع الأعداد الموجبة، إذًا جميع الأعداد السالبة والصفر أصغر من جميع الأعداد الموجبة.
• العدد الذي يمتلك عدد منازل أقل هو العدد الأصغر و العدد الذي يمتلك عدد منازل أكثر هو العدد الأكبر إذا كان العددين موجبين.^[٥]
• مثال: 3 < 45.^[٥]
• إذا تساوى عدد المنازل بين عددين، نُقارن بين قيمة كل منزلة من أقصى اليسار نحو اليمين؛ أي من منزلة المئات، ثم العشرات، ثم الآحاد حتى نصل إلى قيم غير متساوية في منزلة ما.^[٥]
• العدد الذي يحتوي في منزلته على الرقم الأصغر هو العدد الأصغر.^[٥]

المساواة

يُستخدم الرمز(=)للدلالة على العملية المنطقية المساواة، وتدل على أنّ قيمة العدد الأول تساوي قيمة العدد الثاني،^[٢]وفيما يأتي قواعد لمعرفة إذا كان عدد ما يساوي العدد الآخر:

• إذا كان العددان يقعان في نفس المكان على خط الأعداد فالعددان متساويان في القيمة.^[٣]
• إذا كان العددان يمتلكان نفس عدد المنازل، وكانت قيم جميع المنازل متساوية فإنّ العددين متساويان.^[٦]
• مثال: 352 = 352.^[٦]

أمثلة حسابية

قارن بين العدد 331 والعدد 320.

• العددان يمتلكان نفس عدد المنازل وهو 3 منازل.
• نقارن بين العددين من منزلة المئات، نجد أنّ العددين يمتلكان نفس القيمة في منزلة المئات وهو الرقم 3.
• ننتقل إلى منزلة العشرات نجد أنّ العدد 331 يمتلك في منزلة العشرات الرقم 3 وهو أكبر من الرقم 2 في العدد الآخر.
• وبالتالي: 321 < 330.

قارن بين العدد 910 والعدد 520.

• العددان يمتلكان نفس عدد المنازل وهو 3 منازل.
• نقارن بين العددين من منزلة المئات، نجد أنّ العدد 520 يمتلك في منزلة المئات الرقم 5 وهو أصغر من الرقم 9 في العدد الآخر.
• وبالتالي: 520 < 910.

قارن بين العدد 9 والعدد 3.

• نمثل العددان على خط الأعداد.
• <ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|
• 1098 7 6 5 432 1 0
• نُلاحظ أنّ العدد 9 يقع على يمين العدد 3.
• وبالتالي: 9>3.

يمتلك خالد خمسة وعشرون قلمًا، ويمتلك محمد خمس وعشرون مسطرةً، من هو الطالب الذي يمتلك عدد أكبر من القرطاسية؟

• يمتلك خالد: 25 قلمًا.
• يمتلك محمد: 25 مسطرةً.
• نُقارن بين العددين، نجد أنّ العددين لهما نفس عدد المنازل.
• نُقارن بين منزلة العشرات نجد أن العددين لهما نفس القيمة في منزلة العشرات وهي الرقم 2.
• ننتقل إلى منزلة الآحاد، نجد أن العددين أيضًا لهما نفس القيمة في منزلة الآحاد وهي الرقم 5.
• إذًا الطالبان يمتلكان نفس عدد القرطاسية.
• وبالتالي: 25 = 25.

الأعداد الموجبة هي الأعداد التي تقع على يمين الصفر على خط الأعداد، وتزداد قيمتها كلما اتجهنا من جهة اليسار إلى جهة اليمين، وتكون دائمًا أكبر من الصفر، وتُستخدم الرموز أكبر من (>، أصغر من (<)، أو يساوي (=) للمقارنة بينها، بحيث يكون العدد ذو المنازل الأكثر أكبر من العدد ذو المنازل الأقل، وإذا تساوى عدد المنازل نُقارن بين قيمة كل منزلة من اليسار إلى اليمين والعدد الذي يمتلك في منزلته رقمًا أكبر هو العدد الأكبر، وتُساعد عمليات المقارنة في ترتيب الأعداد ترتيبًا تنازليًا وتصاعديًا.

العمليات المنطقية على الأعداد السالبة

تستطيع مقارنة الأعداد السالبة ببعضها بطريقة سهلة وفيما يأتي خطوات لمقارنة الأعداد السالبة لكل عملية من العمليات المنطقية:

الأكبر

يُستخدم الرمز(>للدلالة على العملية المنطقية أكبر من، وتدل على أنّ قيمة عدد الأول أكبر من قيمة العدد الثاني،^[٢]وفيما يأتي قواعد لمقارنة إذا كان عدد ما أكبر من عدد آخر للأعداد السالبة:^[٧]

• تقع الأعداد السالبة على خط الأعداد على يسار الصفر، وتزداد قيمتها كلما اتجهنا من اليسار إلى اليمين، أي العدد الذي يقع على اليمين هو العدد الأكبر.
• يقع الصفر على يمين جميع الأعداد السالبة إذًا الصفر أكبر من جميع الأعداد السالبة.
• الأعداد الموجبة أكبر من الأعداد السالبة دائماً.
• إذا كان العددين سالبين يكون العدد ذو المنازل الأقل أكبر من العدد ذو المنازل الأكثر.
• إذا كان العددين سالبين، العدد الذي تكون قيمته كعدد موجب أصغر هو العدد الأكبر مع إشارة السالب، أي نُقارن العددين بنفس طريقة الأعداد الموجبة، ثم نعكس النتيجة بسبب إشارة السالب.^[٨]
• مثال: قارن بين العدد 62- والعدد 3-.
• نجد أن العدد 62 يمتلك عدد منازل أكبر من العدد 3، لذا 62 أكبر من 3 ولكن بسبب إشارة السالب تُعكس النتيجة.
• وبالتالي: 3->62-.

الأصغر

يُستخدم الرمز(<)للدلالة على العملية المنطقية أصغر من، وتدل على أنّ قيمة عدد الأول أصغر من قيمة العدد الثاني،^[٢]وفيما يأتي قواعد لمقارنة إذا كان عدد ما أصغر من عددًا آخر للأعداد السالبة:^[٧]

• تقع الأعداد السالبة على خط الأعداد على يسار الصفر، وتقل قيمتها كلما اتجهنا من اليمين إلى اليسار، أي العدد الذي يقع على اليسار هو العدد الأصغر.
• يقع الصفر على يمين جميع الأعداد السالبة إذًا جميع الأعداد السالبة أصغر من الصفر.
• الأعداد السالبة أصغر من الأعداد الموجبة.
• إذا كان العددين سالبين يكون العدد ذو المنازل الأكثر أصغر من العدد ذو المنازل الأقل.
• إذا كان العددين سالبين، فإنّ العدد الذي تكون قيمته كعدد موجب أكبر هو العدد الأصغر مع إشارة السالب، أي نُقارن العددين بنفس طريقة الأعداد الموجبة، ثم نعكس النتيجة بسبب إشارة السالب.^[٨]

المساواة

يُستخدم الرمز(=)للدلالة على العملية المنطقية المساواة، وتدل على أنّ قيمة العدد الأول تساوي قيمة العدد الثاني،^[٢]وفيما يأتي قواعد لمعرفة إذا كان عدد ما يساوي العدد الآخر للأعداد السالبة:

1. إذا كان العددان يقعان في نفس المكان على خط الأعداد فالعددان متساويان في القيمة.^[٣]
2. إذا كان العددان سالبان ويمتلكان نفس عدد المنازل، وكانت قيم جميع المنازل متساوية فإنّ العددين متساويان، مثال: 52- = 52-.^[٦]

أمثلة حسابية

قارن بين العدد 845- والعدد 65.

• العدد الموجب أكبر من العدد السالب دائماً.
• وبالتالي: 65>845-.

قارن بين العدد 635- والعدد 965-.

• العددان يمتلكان نفس عدد المنازل وهو 3 منازل.
• نقارن بين العددين من منزلة المئات، نجد أنّ العدد 635 يمتلك في منزلة المئات الرقم 6 وهو أصغر من الرقم 9 في العدد الآخر، إذًا العدد 965 أكبر من العدد 635، وبسبب إشارة السالب تُعكس النتيجة.
• وبالتالي: 965- < 635-.

كانت درجة حرارة مساء يوم الأحد 7 درجات تحت الصفر، ودرجة حرارة مساء يوم الاثنين 9 درجات تحت الصفر، أي يومين درجة حرارته أكبر؟

• نمثل العددان على خط الأعداد.
• ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ـــــ|ــــــ>
• 0 1- 2- 3- 4- 5- 6-7-8-9-
• نُلاحظ أنّ العدد 7- يقع على يمين العدد 9-.
• وبالتالي: 7->10-.

قارن بين العدد 36- والعدد 36-.

• نُقارن بين العددين، نجد أنّ العددين لهما نفس عدد المنازل.
• نُقارن بين منزلة العشرات نجد أن العددين لهما نفس القيمة في منزلة العشرات وهي الرقم 3.
• ننتقل إلى منزلة الآحاد، نجد أن العددين أيضًا لهما نفس القيمة في منزلة الآحاد وهي الرقم 6.
• إذًا العددان يمتلكان نفس القيمة.
• وبالتالي: 36- = 36-.

الأعداد السالبة هي الأعداد التي تقع على يسار الصفر على خط الأعداد، وتزداد قيمتها كلما اتجهنا من جهة اليسار إلى جهة اليمين، وتكون دائمًا أقل من الصفر، وتُستخدم الرموز أكبر من (>، أصغر من (<)، أو يساوي (=) للمقارنة بينها، بحيث يكون العدد ذو المنازل الأكثر أصغر من العدد ذو المنازل الأقل، وإذا تساوى عدد المنازل نُقارن بين قيمة كل منزلة من اليسار إلى اليمين والعدد الذي يمتلك في منزلته رقمًا أكبر هو العدد الأصغر، وبالتالي تُساعد عمليات المقارنة في ترتيب الأعداد ترتيبًا تنازليًا وتصاعديًا.