نظرة عامة حول حجم الأسطوانة
يُعرف الحجم بشكلٍ عامّ بأنه عبارة عن مقدار الحيِّز الذي يشغله الشّكل ثلاثيّ الأبعاد في الفراغ، ويُقاس بوحدات مختلفةٍ، مثل: المتر المُكعَّب، والسّنتيمتر المُكعّب، والليتر، وغيرها من الوحدات المكعبة، كما يُطلق أحياناً عليه اسم السعة،
- حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع، ومنه: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، وبالرموز: ح= π×نق²×ع؛ حيث:
- π: ثابت عددي، قيمته (3.14، 22/7).
- نق: نصف قطر الأسطوانة.
- ع: ارتفاع الأسطوانة.
يجدر بالذكر هنا أن الأسطوانة المائلة (بالإنجليزية: Oblique Cylinder)، وهي التي لا يقع مركز قاعدتها العلوية على استقامة واحدة مع مركز قاعدتها السفلية يُحسب ارتفاعها بنفس القانون السابق، وهو القانون المختص بالأسطوانة القائمة (بالإنجليزية: Right Cylinder) التي يقع مركز قاعدتيها على استقامة واحدة.
لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الأسطوانة.
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
- المثال الأول: أسطوانة معدنيّة ارتفاعها 12سم، ونصف قطر قاعدتها 7سم، جِد حجمها.
[3] - الحلّ:
- بتعويض الارتفاع ونصف قطر القاعدة في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الناتج سيكون كما يأتي:
- حجم الأسطوانة= 7²×12×3.142= 1847.5سم
>3 .
- المثال الثاني: أسطوانة نصف قطرها 2سم، وارتفاعها 5سم، جِد حجمها.
[4] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة= ²2×5×3.14= 62.8سم
>3
- المثال الثالث: أسطوانة ارتفاعها 8م، وقطرها 8م، جِد حجمها.
[4] - الحلّ:
- يجب الانتباه هنا إلى أنَّ المُعطَى هو القُطر وليس نصف القُطر، ولذلك يجب إيجاد نصف القطر عن طريق قسمة القطر على 2، ومن ثُمَّ تعويض الناتج في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، ويتمّ ذلك كما يأتي:
- نصف القطر=2/8=4م.
- وبالتّعويض في قانون حجم الأسطوانة، ينتج أن: حجم الأسطوانة= 4²×8×3.14= 401.92م
>3
- المثال الرابع: إذا كان ارتفاع تنك لتخزين الزيت 30م، ونصف قطره 10م جد كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.
[5] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة= ²10×30×3.14= 9,420م
>3 ، وهي كمية الزيت التي يمكنه احتواؤها.
- المثال الخامس: إذا كان ارتفاع أسطوانة ضعف محيط قاعدتها وكان نصف قطرها 10سم، جد حجمها.
[5] - الحلّ:
- حساب ارتفاع الأسطوانة باستخدام قانون محيط الدائرة (2×π×نق)؛ لأن قاعدة الأسطوانة دائرة الشكل، ومنه: الارتفاع=2× محيط القاعدة= 2×2×π×نق=2×2×3.14×10= 125.6سم.
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة= ²10×125.6×3.14= 39,438.4 سم
>3 .
- المثال السادس: احسب كمية الماء الموجودة داخل قارورة مياه صغيرة الحجم، إذا كان الماء يملؤ 75% منها، علماً أن نصف قطرها الداخلي هو 2سم، وارتفاعها هو 6سم.
[5] - الحلّ:
- حساب ارتفاع الماء داخل القارورة= 0.75×6= 4.5سم؛ لأن الماء يملؤ 75% من القارورة.
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة= ²2×4.5×3.14= 56.52 سم
>3 ، وهي كمية الماء الموجودة داخلها.
- المثال السابع: إذا كان حجم الأسطوانة 54π م
>3 ، وارتفاعها 6 م، جد قيمة نصف قطرها.[5] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- نق²×6×π×54 =π ، وبقسمة الطرفين على (6π)، وأخذذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 3 م.
- المثال الثامن: قطعة حجم على شكل ربع أسطوانة نصف قطرها 8سم، وارتفاعها 5سم، جد حجمها.
[5] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة= ²8×5×3.14= 1005 سم
>3 ، ولحساب حجم قطعة الجبن يجب قسمة الحجم كاملاً على (4)؛ لأن قطعة الجبن تمثل ربع الأسطوانة كاملة، ومنه: - حجم قطعة الجبن= 1005/4= 251.2 سم
>3 .
- المثال التاسع: جد حجم الأسطوانة التي يبلغ ارتفاعها 6سم، ومساحة قاعدتها 30 سم
>2 .[6] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة:
- حجم الأسطوانة= مساحة القاعدة×الارتفاع=30×6= 180 سم
>3 .
- المثال العاشر: إذا كان هناك أنبوب معدني مجوّف من الداخل وأسطواني الشكل، نصف قطره الداخلي 2سم، ونصف قطره الخارجي 2.4سم، وطول الأنبوب 10سم، جد حجم المعدن المستخدم في صناعته.
[6] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- حجم الأسطوانة الخارجية= 3.14× 2.4²×10= 180.9 سم
>3 . - حجم الأسطوانة الداخلية= 3.14× 2²×10= 125.6 سم
>3 .
- حجم الأسطوانة الخارجية= 3.14× 2.4²×10= 180.9 سم
- حجم المعدن المستخدم في صناعتها= حجم الأسطوانة الخارجية-حجم الأسطوانة الداخلية= 180.9-125.6= 55.3 سم
>3 ، وهو حجم المعدن المستخدم في تصنيع هذا الأنبوب المعدني.
- المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الأسطوانة 440 م
>3 ، وارتفاعها 35 م، جد قيمة نصف قطرها.[7] - الحلّ:
- بتعويض المُعطَيات في قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- 440= نق²×35×3.14 ، وبقسمة الطرفين على (35×3.14)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج، فإن: نق= 2م.
- المثال الثاني عشر: إذا كان قطر أسطوانة ما يساوي ضعف ارتفاعها، وكان حجمها 64π سم، جد قيمة نصف قطرها.
[8] - الحلّ:
- قطر الأسطوانة وفق معطيات السؤال هو: قطر الأسطوانة= 2 ×نصف القطر= 2×الارتفاع؛ وبقسمة الطرفين على (2) ينتج أن نصف قطر الأسطوانة= ارتفاع الأسطوانة، وبتعويض القيم قانون حجم الأسطوانة: حجم الأسطوانة: π×مربع نصف القطر×الارتفاع، فإنَّ الحلّ سيكون كالآتي:
- π×نق×نق² = 64×π ، وبقسمة الطرفين على (π)، وأخذ الجذر التربيعي للناتج فإن، نق= 4سم.
لمزيد من المعلومات حول مساحة الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون المساحة الجانبية للأسطوانة، قانون مساحة الإسطوانة.
فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها
للتعرف على هذا الشكل الهندسي وكيفية حساب مساحته وحجمه شاهد الفيديو الآتي:
المراجع
- 1 - Volume , MathIsFun , 25-3-2017. Edited. .
- 2 - Volume enclosed by a cylinder , Math Open Reference , 25-3-2017. Edited. .
- 3 - Volume of a Cylinder , mathteacher.com.au , 25-3-2017. Edited. .
- 4 - Daniel H., " Volume of cylinders " , basic-mathematics.com , 25-3-2017. Edited. .
- 5 - Calculating the volume of a cylinder , www.varsitytutors.com , 8-4-2020. Edited. .
- 6 - Volume of Cylinders , www.onlinemathlearning.com , 8-4-2020. Edited. .
- 7 - Volume of a Cylinder , byjus.com , 8-4-2020. Edited. .
- 8 - How to find the volume of a cylinder , www.varsitytutors.com , 8-4-2020. Edited. .
- 9 - فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها. .