معنى الأصفار التخيلية
الأصفار التخيلية هي نتيجة الدالة كثيرة الحدود التي تحتوي على جذور تربيعية سالبة ويتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت الخاصين ب الجذور والأصفار لحل هذه الدوال .
تحديد عدد الأصفار التخيلية
يمكن تحديد عدد الأصفار التخيلية بإستخدام النظرية الأساسية في الجبر وقانون ديكارت للإشارات .مثال : د (س) = س^٦ +٣س^٥ – ٤س^٤ – ٦س^٣ + س^٢ – ٨ س + ٥يلاحظ أن درجه الدالة هي ستة وفقًا للنظرية الأساسية في الجبر لذا فالدالة سوف تعطي ناتج ستة أصفار ( ومن الممكن أن يكونوا أصفار حقيقية أو تخيلية أو الأثنين ) . ثم يتم إستخدام قانون ديكارت للإشارات لتحديد العدد الممكن للأصفار الحقيقية ونوعها.
النظرية الأساسية في الجبر
يتم إستخدام النظرية الأساسية في الجبر في تحديد عدد الجذور لمعادلة كثيرة الحدود وفي إيجاد الجذور التخيلية حيث تظهر الجذور التخيلية في معادلة تربيعية عندما يكون تمييز المعادلة التربيعية ( الجزء الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي ) (b2 – 4ac) سالبًا.إذا كانت هذه القيمة سالبة ، فلا يمكنك في الواقع أخذ الجذر التربيعي والإجابات هنا ليست حقيقية. بمعنى آخر ، لا يوجد حل حقيقي. لذلك ، لن يتقاطع الرسم البياني مع المحور x.دائمًا ما يمنحك استخدام الصيغة التربيعية حلين لأن علامة الجمع / الطرح تعني أنك تضيف وتطرح وتحصل على إجابتين مختلفتين تمامًا. عندما يكون الرقم الموجود أسفل علامة الجذر التربيعي في الصيغة التربيعية سالبًا ، فإن الإجابات تسمى اتحادات معقدة. واحد هو r + si والآخر هو r – si. هذه الأرقام لها أجزاء حقيقية (r) وخيالية (si).يتكون نظام العدد المركب من جميع الأرقام r + si حيث r و s هي أرقام حقيقية. لاحظ أنه عندما تكون s = 0 ، يكون لديك ببساطة الأعداد الحقيقية. لذلك فإن الأعداد الحقيقية هي مجموعة فرعية من نظام الأعداد المركبة. تقول النظرية الأساسية للجبر أن كل دالة متعددة الحدود لها جذر واحد على الأقل في نظام الأعداد المركبة.[1]عدد جذور معادلة كثيرة الحدود مرتبط بدرجة المعادلة كثيرة الحدود بمعنى إن معادلة كثيرة الحدود من الدرجة ن ، بيساوي نفس عدد ن من الجذور المركبة مثال :
قانون ديكارت للإشارات
وهو يمثل العلاقة بين إشارات معاملات الدالة وبين الأصفار الحقيقية الموجبة والسالبة ويستخدم لتحديد عدد الأصفار الحقيقية الموجبة أو السالبة لدالة معينة .الجذور الحقيقية الإيجابية بالنسبة لعدد الجذور الحقيقية الموجبة انظر إلى كثير الحدود مكتوبًا بترتيب تنازلي واحسب عدد المرات التي تتغير فيها الإشارة من حد إلى آخر.تمثل هذه القيمة الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة في كثير الحدود. على سبيل المثال ، في كثير الحدود f (x) = 2×4 – 9×3 – 21×2 + 88x + 48 ، ترى تغييرين في العلامة من المصطلح الأول (+ 2×4 ) إلى الثاني (-9×3) ومن الحد الثالث (-21×2) إلى الحد الرابع (88x). هذا يعني أن هذه المعادلة يمكن أن تحتوي على حلين موجبين.تنص قاعدة علامات ديكارت على أن عدد الجذور الموجبة يساوي التغييرات في علامة (f (x ، أو أقل من ذلك بعدد زوجي (لذلك استمر في طرح 2 حتى تحصل على 1 أو 0). لذلك ، قد يكون لـ( f (x السابقة 2 أو 0 جذور موجبة.الجذور الحقيقية السلبية عدد الجذور الحقيقية السلبية ، أوجد (f (–x وعد مرة أخرى. نظرًا لأن الأرقام السالبة التي يتم رفعها إلى قوى زوجية تكون موجبة والأرقام السالبة المرفوعة إلى قوى فردية سلبية ، فإن هذا التغيير يؤثر فقط على الشروط ذات القوى الفردية.هذه الخطوة مماثلة لتغيير كل حد بدرجة فردية إلى علامته المعاكسة وإحصاء تغيرات الإشارة مرة أخرى ، مما يمنحك أكبر عدد من الجذور السالبة.تصبح المعادلة المثال f (–x) = 2×4 + 9×3 – 21×2 – 88x + 48 ، مما يغير العلامات مرتين. يمكن أن يكون هناك جذرين سالبين على الأكثر.ومع ذلك ، على غرار قاعدة الجذور الموجبة ، فإن عدد الجذور السالبة يساوي التغييرات في الإشارة لـ( f (–x ، أو يجب أن يكون أقل من ذلك بعدد زوجي. لذلك ، يمكن أن يكون لهذا المثال 2 أو 0 جذور سلبية.مثال : أن س^ن + ……………………+أس+أ